【二次函数精选练习题及答案】二次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的基础之一。它在实际问题中有着广泛的应用，如抛物线运动、最大值与最小值的求解等。掌握好二次函数的相关知识，不仅能提高数学成绩，还能增强逻辑思维和问题解决能力。

为了帮助同学们更好地理解和巩固二次函数的知识点，下面整理了一些精选练习题，并附有详细解答，便于大家自查和复习。

一、选择题

1. 抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 的顶点坐标是（ ）

A. (2, -1)

B. (2, 1)

C. (-2, -1)

D. (-2, 1)

答案：A

解析：利用顶点公式 $ x = -\frac{b}{2a} $，这里 $ a = 1 $，$ b = -4 $，所以 $ x = 2 $。代入原式得 $ y = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = -1 $，因此顶点为 (2, -1)。

2. 若函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像开口向下，则以下说法正确的是（ ）

A. $ a > 0 $

B. $ a < 0 $

C. $ b > 0 $

D. $ c > 0 $

答案：B

解析：二次项系数 $ a $ 决定了抛物线的开口方向。当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。

3. 函数 $ y = x^2 + 6x + 8 $ 的图像与 x 轴的交点个数为（ ）

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 无法确定

答案：C

解析：判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac = 36 - 32 = 4 > 0 $，说明有两个不同的实数根，即与 x 轴有两个交点。

二、填空题

4. 抛物线 $ y = -2x^2 + 4x - 1 $ 的对称轴方程是 __________。

答案：x = 1

解析：对称轴公式为 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-2)} = 1 $。

5. 已知二次函数的图象经过点 (1, 2)，(2, 3)，(3, 6)，则其解析式为 __________。

答案：y = x² - 2x + 3

解析：设函数为 $ y = ax^2 + bx + c $，代入三点建立方程组并解得 $ a = 1 $，$ b = -2 $，$ c = 3 $。

三、解答题

6. 某商品的利润 $ P $（元）与销售量 $ x $（件）之间的关系为 $ P = -x^2 + 10x - 21 $，求最大利润是多少？

答案：最大利润为 4 元

解析：该函数为开口向下的抛物线，顶点处取得最大值。顶点横坐标为 $ x = -\frac{10}{2 \times (-1)} = 5 $，代入得 $ P = -25 + 50 - 21 = 4 $。

7. 已知二次函数的图像过点 (0, 3)，且顶点为 (1, 2)，求其解析式。

答案：y = x² - 2x + 3

解析：设解析式为 $ y = a(x - 1)^2 + 2 $，将点 (0, 3) 代入得 $ 3 = a(0 - 1)^2 + 2 $，解得 $ a = 1 $，所以解析式为 $ y = (x - 1)^2 + 2 = x^2 - 2x + 3 $。

四、应用题

8. 一个篮球运动员投篮时，球的运动轨迹可近似看作一条抛物线。若球出手时离地高度为 2 米，最高点距离地面 5 米，且落地点距离投篮点 10 米，求球的运动轨迹的解析式。

答案：$ y = -\frac{1}{10}x^2 + x + 2 $

解析：设解析式为 $ y = ax^2 + bx + c $。已知：

- 当 $ x = 0 $，$ y = 2 $ ⇒ $ c = 2 $

- 顶点在 (5, 5) ⇒ $ x = -\frac{b}{2a} = 5 $，$ y = 5 $

- 当 $ x = 10 $，$ y = 0 $

联立解得 $ a = -\frac{1}{10} $，$ b = 1 $，故解析式为 $ y = -\frac{1}{10}x^2 + x + 2 $。

通过这些练习题的训练，可以帮助学生加深对二次函数的理解，提升解题技巧。建议在做题过程中注意分析题目的条件，结合图像和代数方法进行综合判断，从而全面掌握这一知识点。