【《数字信号处理》部分课后习题解答】在学习《数字信号处理》这门课程的过程中，课后习题是巩固基础知识、提升实际应用能力的重要环节。通过对典型例题的分析与解答，不仅能加深对理论知识的理解，还能帮助学生掌握解决实际问题的方法。
以下是一些常见课后习题的解答思路和过程，旨在为学习者提供参考与启发。
一、离散时间信号与系统
题目示例：
给定一个离散时间信号 $ x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{4}n\right) $，求其周期性。
解答：
要判断一个离散时间信号是否为周期性的，需满足以下条件：
$$
x[n + N] = x[n]
$$
即：
$$
\cos\left(\frac{\pi}{4}(n + N)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}n\right)
$$
由余弦函数的周期性可知，该等式成立当且仅当：
$$
\frac{\pi}{4}N = 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
解得：
$$
N = 8k
$$
因此，最小正整数周期为 $ N = 8 $，说明该信号是周期性的，周期为 8。
二、傅里叶变换与频域分析
题目示例：
已知序列 $ x[n] = a^n u[n] $，其中 $ |a| < 1 $，求其离散时间傅里叶变换（DTFT）。
解答：
根据 DTFT 的定义：
$$
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}
$$
由于 $ x[n] = a^n u[n] $，所以非零项只在 $ n \geq 0 $ 时存在，代入得：
$$
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n e^{-j\omega n} = \sum_{n=0}^{\infty} (a e^{-j\omega})^n
$$
这是一个等比数列，首项为 1，公比为 $ r = a e^{-j\omega} $，当 $ |r| < 1 $ 时，级数收敛：
$$
X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - a e^{-j\omega}}
$$
这是该序列的 DTFT 表达式。
三、Z 变换与系统函数
题目示例：
已知系统函数 $ H(z) = \frac{z}{z - a} $，求其对应的单位脉冲响应 $ h[n] $。
解答：
将 $ H(z) $ 分解为：
$$
H(z) = \frac{z}{z - a} = \frac{1}{1 - a z^{-1}}
$$
根据 Z 变换的性质，$ \frac{1}{1 - a z^{-1}} $ 对应的是因果序列 $ h[n] = a^n u[n] $。
因此，该系统的单位脉冲响应为：
$$
h[n] = a^n u[n]
$$
四、滤波器设计与实现
题目示例：
设计一个低通 FIR 滤波器，截止频率为 $ \omega_c = \frac{\pi}{4} $，采样频率为 $ f_s = 1 $ kHz，长度为 11。
解答：
FIR 滤波器的设计通常采用窗函数法。假设使用矩形窗，设计步骤如下：
1. 确定理想低通滤波器的单位脉冲响应：
$$
h_d[n] = \frac{\sin(\omega_c n)}{\pi n}, \quad n \neq 0
$$
$$
h_d[0] = \frac{\omega_c}{\pi}
$$
2. 选择窗口函数（如矩形窗），并截断得到有限长序列。
3. 计算滤波器系数，并进行对称处理以保证线性相位。
最终得到的滤波器系数可用于实现低通滤波功能。
结语
通过以上几类典型习题的解析，可以看出，《数字信号处理》课程不仅要求掌握数学工具，还需要具备一定的工程思维与实践能力。建议在学习过程中多动手编程验证理论结果，结合 MATLAB 或 Python 进行仿真，有助于更深入地理解课程内容。
希望这些解答能为你的学习提供帮助，也欢迎进一步探讨更多相关问题。
