【高等数学同济大学第六版1-03-函数的极限课件、讲义文】在学习高等数学的过程中，函数的极限是一个非常重要的基础概念。它不仅是微积分的核心内容之一，也是理解导数、积分以及后续各种数学分析问题的关键。本文将围绕《高等数学》（同济大学第六版）中第1章第3节“函数的极限”进行讲解，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、函数极限的基本概念
函数的极限是研究当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。通俗来说，就是观察当x无限接近某个数a时，f(x)会趋向于什么数值。
数学上，我们用符号表示为：
$$
\lim_{x \to a} f(x) = L
$$
这表示当x无限接近a时，f(x)无限接近L。这里的L称为函数在x=a处的极限。
需要注意的是，极限的存在与否与函数在该点的定义无关。也就是说，即使f(a)不存在或不等于L，只要x趋近于a时f(x)趋近于L，那么极限仍然存在。
二、函数极限的定义
根据严格的数学定义，设函数f(x)在某点a的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论多小），总存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε，则称L为f(x)当x→a时的极限，记作：
$$
\lim_{x \to a} f(x) = L
$$
这个定义也被称为“ε-δ”定义，是极限理论的基础。
三、左右极限的概念
在某些情况下，函数在某一点的极限可能从左侧趋近和从右侧趋近得到不同的结果。因此，我们需要引入左极限和右极限的概念。
- 左极限：当x从a的左侧趋近于a时，f(x)的极限记为：
$$
\lim_{x \to a^-} f(x)
$$
- 右极限：当x从a的右侧趋近于a时，f(x)的极限记为：
$$
\lim_{x \to a^+} f(x)
$$
只有当左右极限都存在且相等时，函数在该点的极限才存在。
四、函数极限的性质
1. 唯一性：若函数在某点的极限存在，则其极限是唯一的。
2. 局部有界性：若$\lim_{x \to a} f(x) = L$，则在a的某个去心邻域内，f(x)是有界的。
3. 保号性：若$\lim_{x \to a} f(x) = L > 0$，则存在a的某个去心邻域，使得在该邻域内f(x) > 0。
五、常见函数的极限
1. 多项式函数：如$f(x) = x^n$，当x→a时，极限为$a^n$。
2. 分式函数：如$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$，当x→a时，若Q(a) ≠ 0，则极限为$\frac{P(a)}{Q(a)}$。
3. 三角函数：如$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$，$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$。
4. 指数函数与对数函数：如$\lim_{x \to 0} e^x = 1$，$\lim_{x \to 1} \ln x = 0$。
六、极限的计算方法
1. 直接代入法：适用于连续函数，可以直接将x=a代入求得极限。
2. 因式分解法：当函数在x=a处无定义但可以化简时，可先化简再代入。
3. 有理化法：常用于含有根号的表达式，通过有理化消去分母中的根号。
4. 利用重要极限：如$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$等。
七、总结
函数的极限是高等数学中非常基础但又极其重要的内容。掌握好极限的概念和计算方法，不仅有助于理解导数和积分的定义，也为后续学习微分方程、级数等内容打下坚实的基础。
建议同学们在学习过程中，结合教材中的例题和练习题进行反复练习，加深对极限概念的理解和应用能力。同时，注意区分极限与函数在某点的值之间的区别，避免产生混淆。
如需进一步了解其他章节内容，欢迎继续关注本系列讲解，我们将逐步深入探讨高等数学的各个核心知识点。
