【导数练习题】在数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念，尤其在微积分中占据核心地位。它不仅帮助我们理解函数的变化率，还能用于求极值、判断函数的单调性以及解决实际问题等。为了更好地掌握导数的相关知识，下面将提供一些典型的导数练习题，并附上详细的解题思路与解答过程。
一、基础导数计算题
题目1： 求函数 $ f(x) = x^3 - 4x + 2 $ 的导数。
解题思路：
根据导数的基本法则，逐项求导即可。
- $ \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 $
- $ \frac{d}{dx}(-4x) = -4 $
- $ \frac{d}{dx}(2) = 0 $
答案：
$ f'(x) = 3x^2 - 4 $
题目2： 已知函数 $ g(x) = \sqrt{x} $，求其导数。
解题思路：
可以将根号转化为指数形式，即 $ g(x) = x^{1/2} $。
使用幂函数的求导法则：
$ \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} $
答案：
$ g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
二、复合函数求导（链式法则）
题目3： 求函数 $ h(x) = (2x + 1)^5 $ 的导数。
解题思路：
这是一个复合函数，外层是幂函数，内层是线性函数。使用链式法则：
设 $ u = 2x + 1 $，则 $ h(u) = u^5 $，所以
$ h'(x) = \frac{dh}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4 $
答案：
$ h'(x) = 10(2x + 1)^4 $
三、乘积法则与商法则应用
题目4： 求函数 $ k(x) = x^2 \cdot \sin(x) $ 的导数。
解题思路：
该函数为两个函数的乘积，使用乘积法则：
若 $ k(x) = u(x) \cdot v(x) $，则
$ k'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $
设 $ u(x) = x^2 $，$ v(x) = \sin(x) $，则
$ u'(x) = 2x $，$ v'(x) = \cos(x) $
答案：
$ k'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) $
题目5： 求函数 $ m(x) = \frac{\ln(x)}{x} $ 的导数。
解题思路：
这是一个分式函数，使用商法则：
若 $ m(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$ m'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
设 $ u(x) = \ln(x) $，$ v(x) = x $，则
$ u'(x) = \frac{1}{x} $，$ v'(x) = 1 $
答案：
$ m'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} $
四、综合练习题
题目6： 已知函数 $ n(x) = e^{2x} \cdot \cos(x) $，求导数 $ n'(x) $。
解题思路：
这是一个乘积函数，其中一个是指数函数，另一个是三角函数。使用乘积法则：
设 $ u(x) = e^{2x} $，$ v(x) = \cos(x) $，
则 $ u'(x) = 2e^{2x} $，$ v'(x) = -\sin(x) $
答案：
$ n'(x) = 2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x) = e^{2x}(2\cos(x) - \sin(x)) $
总结
通过上述练习题可以看出，导数的计算方法主要包括：
- 基本函数的导数公式
- 链式法则（适用于复合函数）
- 乘积法则与商法则（适用于乘积或分式函数）
掌握这些基本技巧后，能够更灵活地应对各种导数相关的问题。建议多做类似题目，加深对导数的理解和应用能力。
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