在函授教育中，高等数学作为一门基础课程，对于提升学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要作用。为了帮助大家更好地理解和掌握高等数学的知识点，本文将提供一套典型的高数试题，并附上详细的解答过程。

首先，我们来看一道关于极限计算的问题：

例题1：求解以下函数的极限：

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \]

解答：利用三角函数的性质以及极限的基本法则，我们知道当 \( x \to 0 \) 时，\(\sin(3x)\) 的变化趋势与 \( 3x \) 相同。因此，

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3 \]

接下来是一道涉及导数的应用题：

例题2：已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，求其在区间 [0, 4] 上的最大值和最小值。

解答：首先计算函数的一阶导数：

\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]

令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。再结合端点值 \( f(0) = 1 \)，\( f(4) = 5 \)，通过比较得出最大值为 \( f(4) = 5 \)，最小值为 \( f(1) = 5 \)。

最后，我们探讨一个积分计算的例子：

例题3：计算不定积分 \( \int (2x + 1)^3 dx \)

解答：设 \( u = 2x + 1 \)，则 \( du = 2dx \)。原式可转化为：

\[ \int (2x + 1)^3 dx = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{(2x+1)^4}{8} + C \]

以上三道题目涵盖了高数中的基本概念和常见题型，希望对正在学习高数的朋友有所帮助。在准备考试的过程中，建议多做练习题，不断巩固所学知识，同时注意理解背后的原理，这样才能真正掌握高数这门学科。