【对数求导法则公式】在微积分中，对数求导法是一种用于简化复杂函数求导的方法。尤其适用于涉及乘积、幂函数或指数函数的复合形式时，使用对数求导法可以大大简化计算过程。通过对原函数取自然对数，再利用对数的性质进行化简，最后通过隐函数求导法进行求导，从而得到原函数的导数。
一、对数求导法则的核心思想
对数求导法的基本思路是：
对一个正函数 $ y = f(x) $ 取自然对数，得到 $ \ln y = \ln f(x) $，然后两边对 $ x $ 求导。
这样做的好处在于，可以将乘积、商、幂等复杂结构转化为加减运算，便于求导。
二、对数求导法则的公式总结
| 原始函数 | 对数处理后 | 导数公式 |
| $ y = u(x) \cdot v(x) $ | $ \ln y = \ln u + \ln v $ | $ \frac{y'}{y} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} $ → $ y' = y \left( \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} \right) $ |
| $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ \ln y = \ln u - \ln v $ | $ \frac{y'}{y} = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} $ → $ y' = y \left( \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} \right) $ |
| $ y = [u(x)]^{v(x)} $ | $ \ln y = v(x) \ln u(x) $ | $ \frac{y'}{y} = v'(x) \ln u(x) + v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} $ → $ y' = y \left[ v'(x) \ln u(x) + v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} \right] $ |
三、使用步骤说明
1. 确认函数是否为正函数：对数求导法要求 $ y > 0 $，否则无法取对数。
2. 对函数两边取自然对数：将 $ y = f(x) $ 转换为 $ \ln y = \ln f(x) $。
3. 对两边关于 $ x $ 求导：利用对数的性质和基本求导法则进行计算。
4. 解出 $ y' $：将结果代回原函数表达式，得到最终的导数。
四、示例解析
例1：
函数 $ y = x^2 \cdot e^x $
对数处理：$ \ln y = \ln x^2 + \ln e^x = 2\ln x + x $
求导：$ \frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + 1 $
最终导数：$ y' = y \left( \frac{2}{x} + 1 \right) = x^2 e^x \left( \frac{2}{x} + 1 \right) $
例2：
函数 $ y = \frac{(x+1)^3}{x^2} $
对数处理：$ \ln y = 3\ln(x+1) - 2\ln x $
求导：$ \frac{y'}{y} = \frac{3}{x+1} - \frac{2}{x} $
最终导数：$ y' = y \left( \frac{3}{x+1} - \frac{2}{x} \right) $
五、注意事项
- 若函数可能为负数或零，则需特别处理，例如分段讨论或使用绝对值。
- 对于复数函数，对数求导法不适用。
- 在实际应用中，应结合其他求导法则（如链式法则、乘积法则）综合使用。
六、总结
对数求导法是一种高效且实用的求导技巧，尤其适合处理复杂函数的导数问题。掌握其核心公式与使用方法，能够显著提高求导效率，减少计算错误。通过表格形式的归纳，有助于快速理解和记忆该方法的应用场景与具体操作步骤。
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