【变限积分函数问题(15题)】在高等数学的学习过程中，变限积分函数是一个非常重要且常见的知识点。它不仅出现在微积分的基础内容中，也在后续的微分方程、积分变换等课程中频繁出现。掌握变限积分函数的性质和计算方法，有助于提高对积分运算的理解与应用能力。
本文将围绕“变限积分函数”这一主题，精选出15道典型问题，并结合相关知识点进行解析，帮助读者深入理解其背后的数学原理和解题技巧。
一、什么是变限积分函数？
变限积分函数一般形式为：
$$
F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt
$$
其中 $ a $ 是常数，$ x $ 是变量，而 $ f(t) $ 是被积函数。这个函数表示的是从固定下限 $ a $ 到变量上限 $ x $ 的定积分。根据微积分基本定理，如果 $ f(t) $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续，则 $ F(x) $ 在该区间上可导，且有：
$$
F'(x) = f(x)
$$
这是变限积分函数的核心性质之一。
二、常见题型与解题思路
题目1：求变限积分函数的导数
已知 $ F(x) = \int_{1}^{x^2} \sin t \, dt $，求 $ F'(x) $。
解析：使用链式法则，令 $ u = x^2 $，则 $ F(x) = \int_{1}^{u} \sin t \, dt $，因此：
$$
F'(x) = \frac{d}{du} \left( \int_{1}^{u} \sin t \, dt \right) \cdot \frac{du}{dx} = \sin(u) \cdot 2x = 2x \sin(x^2)
$$
题目2：利用变限积分定义函数并讨论其连续性
设 $ F(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt $，讨论 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 处的连续性。
解析：由于 $ \frac{\sin t}{t} $ 在 $ t=0 $ 处极限为1，因此可以定义 $ f(0)=1 $，使得函数在 $ x=0 $ 处连续。从而 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 处也连续。
题目3：比较两个变限积分函数的大小
比较 $ \int_{0}^{1} x^2 \, dx $ 与 $ \int_{0}^{1} x^3 \, dx $ 的大小。
解析：分别计算两积分：
$$
\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3}, \quad \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{1}{4}
$$
显然 $ \frac{1}{3} > \frac{1}{4} $，所以前者更大。
题目4：利用变限积分构造函数并求极值
设 $ F(x) = \int_{0}^{x} (t - 1)^2 \, dt $，求 $ F(x) $ 的极小值点。
解析：先求导：
$$
F'(x) = (x - 1)^2
$$
令 $ F'(x) = 0 $，得 $ x = 1 $。进一步分析导数符号可知，当 $ x < 1 $ 时导数为正，当 $ x > 1 $ 时导数也为正，故 $ x=1 $ 为极小值点。
题目5：变限积分与不定积分的关系
已知 $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt $，试说明 $ F(x) $ 与 $ f(x) $ 的关系。
解析：根据微积分基本定理，若 $ f $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续，则 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，即 $ F'(x) = f(x) $。
题目6：变限积分函数的奇偶性
设 $ F(x) = \int_{-x}^{x} t^2 \, dt $，判断 $ F(x) $ 是否为偶函数。
解析：计算：
$$
F(x) = \int_{-x}^{x} t^2 \, dt = 2 \int_{0}^{x} t^2 \, dt = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3}
$$
显然 $ F(-x) = \frac{2(-x)^3}{3} = -\frac{2x^3}{3} = -F(x) $，所以是奇函数。
题目7：利用变限积分求极限
计算极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \sqrt{1 + t^2} \, dt $。
解析：这是一个 $ \frac{0}{0} $ 型极限，可使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \sqrt{1 + t^2} \, dt = \lim_{x \to 0} \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} \sqrt{1 + t^2} \, dt \right) = \sqrt{1 + 0^2} = 1
$$
题目8：变限积分与参数变化
设 $ F(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, dt $，求 $ F'(x) $。
解析：直接应用基本定理：
$$
F'(x) = e^{-x^2}
$$
题目9：变限积分的对称性
设 $ F(x) = \int_{0}^{x} \sin t \, dt $，求 $ F(-x) $ 与 $ F(x) $ 的关系。
解析：
$$
F(-x) = \int_{0}^{-x} \sin t \, dt = -\int_{-x}^{0} \sin t \, dt = -\left[ -\cos t \right]_{-x}^{0} = -(\cos 0 - \cos(-x)) = -1 + \cos x
$$
而 $ F(x) = -\cos x + 1 $，因此 $ F(-x) = -F(x) $，说明是奇函数。
题目10：变限积分与不等式
证明：对于任意 $ x > 0 $，有 $ \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t^2} \, dt < x $。
解析：因为 $ \frac{1}{1 + t^2} < 1 $ 对所有 $ t > 0 $ 成立，所以：
$$
\int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t^2} \, dt < \int_{0}^{x} 1 \, dt = x
$$
题目11：变限积分的复合函数
设 $ F(x) = \int_{0}^{\sin x} t^2 \, dt $，求 $ F'(x) $。
解析：令 $ u = \sin x $，则：
$$
F'(x) = \frac{d}{du} \left( \int_{0}^{u} t^2 \, dt \right) \cdot \frac{du}{dx} = u^2 \cdot \cos x = \sin^2 x \cdot \cos x
$$
题目12：变限积分与泰勒展开
设 $ F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt $，求 $ F(x) $ 的泰勒展开式。
解析：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt = e^x - 1
$$
而 $ e^x $ 的泰勒展开为：
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
$$
因此，
$$
F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
$$
题目13：变限积分与函数图像
画出函数 $ F(x) = \int_{0}^{x} t^3 \, dt $ 的图像，并说明其单调性。
解析：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} t^3 \, dt = \frac{x^4}{4}
$$
该函数在 $ x \in \mathbb{R} $ 上单调递增，且为偶函数。
题目14：变限积分与反函数
设 $ F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{1 + t^2} \, dt $，求 $ F^{-1}(x) $ 在某一点处的导数。
解析：若 $ y = F(x) $，则 $ x = F^{-1}(y) $，根据反函数求导公式：
$$
(F^{-1})'(y) = \frac{1}{F'(x)} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
$$
题目15：变限积分与物理应用
一物体从静止开始沿直线运动，加速度为 $ a(t) = t $，求其在时间 $ t $ 内的位移函数。
解析：速度为：
$$
v(t) = \int_{0}^{t} a(\tau) d\tau = \int_{0}^{t} \tau \, d\tau = \frac{t^2}{2}
$$
位移为：
$$
s(t) = \int_{0}^{t} v(\tau) d\tau = \int_{0}^{t} \frac{\tau^2}{2} d\tau = \frac{t^3}{6}
$$
三、总结
变限积分函数不仅是微积分中的基础概念，也是解决实际问题的重要工具。通过以上15道题目，我们可以看到其在求导、积分、极限、奇偶性、泰勒展开等多个方面的应用。熟练掌握这些内容，有助于提升数学思维能力和解题技巧。
希望本文能为学习变限积分函数的同学提供参考与帮助。
