【洛伦兹变换的严格推导】在经典物理学中，牛顿力学与麦克斯韦电磁理论之间存在明显的矛盾。特别是在处理光速问题时，牛顿力学所依赖的伽利略变换无法满足光速不变原理的要求。为了解决这一矛盾，物理学家洛伦兹提出了著名的洛伦兹变换，它成为狭义相对论的基础之一。
一、基本假设
为了建立一个合理的时空变换关系，我们基于以下两个核心假设：
1. 相对性原理：物理定律在所有惯性参考系中具有相同的形式。
2. 光速不变原理：在所有惯性参考系中，真空中光速是一个常数，记为 $ c $，与光源或观察者的运动无关。
这两个假设是爱因斯坦提出狭义相对论的核心，而洛伦兹变换正是基于这些假设构建的。
二、坐标变换的基本思路
设有一个静止参考系 $ S $ 和一个以速度 $ v $ 沿 $ x $ 轴方向匀速运动的参考系 $ S' $。我们希望找到 $ S $ 系与 $ S' $ 系之间的坐标变换关系。
设事件在 $ S $ 系中的坐标为 $ (x, y, z, t) $，在 $ S' $ 系中的坐标为 $ (x', y', z', t') $。
由于相对性原理，变换应保持对称性；又因为光速不变，我们需要保证光信号在两系中的传播速度均为 $ c $。
三、假设线性变换关系
考虑到物理量的连续性和对称性，我们可以假设变换是线性的，即：
$$
x' = a(x - vt)
$$
$$
t' = b\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)
$$
其中 $ a $、$ b $ 是待定常数。这里假设 $ y' = y $、$ z' = z $，因为运动仅沿 $ x $ 方向，不会影响垂直方向的坐标。
四、利用光速不变原理求解常数
考虑一个光脉冲从原点发出，在 $ S $ 系中沿 $ x $ 轴传播，其轨迹满足：
$$
x = ct
$$
在 $ S' $ 系中，该光脉冲的轨迹也应满足：
$$
x' = ct'
$$
将上述线性变换代入：
$$
a(x - vt) = c \cdot b\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)
$$
将 $ x = ct $ 代入左边和右边：
左边：
$$
a(ct - vt) = a t(c - v)
$$
右边：
$$
c b \left(t - \frac{vct}{c^2}\right) = c b t \left(1 - \frac{v}{c}\right)
$$
因此有：
$$
a t(c - v) = c b t \left(1 - \frac{v}{c}\right)
$$
两边约去 $ t $，得到：
$$
a(c - v) = c b \left(1 - \frac{v}{c}\right)
$$
化简右边：
$$
c b \left(1 - \frac{v}{c}\right) = c b - b v
$$
所以：
$$
a(c - v) = c b - b v
$$
整理得：
$$
a(c - v) + b v = c b
$$
再引入另一个条件：当 $ v = 0 $ 时，$ S' $ 与 $ S $ 相同，因此应有 $ a = 1 $、$ b = 1 $。但这是极限情况，不能直接代入。
我们尝试通过其他方式确定 $ a $ 和 $ b $ 的关系。
五、对称性与逆变换
假设从 $ S' $ 到 $ S $ 的变换也应具有类似形式，即：
$$
x = a(x' + vt')
$$
$$
t = b\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right)
$$
将 $ x' = a(x - vt) $、$ t' = b\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) $ 代入上式，可得：
$$
x = a\left[a(x - vt) + v b\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)\right]
$$
展开并整理后，要求该等式恒成立，即对于任意 $ x $、$ t $ 都成立。由此可得出关于 $ a $ 和 $ b $ 的方程组。
经过计算可得：
$$
a = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad b = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
$$
六、最终的洛伦兹变换公式
将上述结果代入原式，得到洛伦兹变换的标准形式：
$$
x' = \gamma (x - vt)
$$
$$
t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right)
$$
$$
y' = y, \quad z' = z
$$
其中，$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $ 称为洛伦兹因子。
七、结论
通过从相对性原理和光速不变原理出发，结合线性变换假设与对称性分析，我们得到了洛伦兹变换的严格推导过程。这不仅揭示了不同惯性系之间的时空关系，也为狭义相对论提供了坚实的数学基础。
洛伦兹变换不仅是现代物理的重要工具，也深刻地改变了人类对时间和空间的理解。
