【高等代数第五版课后题答案及详解】《高等代数》作为数学专业的一门基础课程，内容涵盖多项式、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、特征值与特征向量等多个重要知识点。第五版教材在原有基础上进行了内容优化和结构调整，更加注重逻辑的严谨性和应用的广泛性。对于学习这门课程的学生来说，掌握好教材中的课后习题是巩固知识、提升解题能力的重要途径。
为了帮助广大学生更好地理解和掌握《高等代数第五版》中的核心概念与解题技巧，本文将围绕部分典型课后题目进行详细解析，旨在提供清晰的思路和规范的解题步骤，帮助学生在复习和备考过程中提高效率。
一、行列式的计算
行列式是高等代数中一个非常重要的概念，常用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等。在教材中，有关行列式的题目主要涉及基本性质的应用以及展开定理的使用。
例题： 计算如下三阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{vmatrix}
$$
解析：
该行列式可以通过展开法或利用行变换简化计算。观察发现，第三行减去第二行，再减去第一行，可以得到一个零行，因此行列式为0。
$$
\text{原式} = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7-4-1 & 8-5-2 & 9-6-3 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
2 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}
$$
进一步展开或继续化简可得结果为0。
二、矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩是反映矩阵列（或行）向量线性相关程度的一个重要指标。在处理线性方程组时，矩阵的秩可以帮助我们判断方程组是否有解、解的个数等问题。
例题： 求矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 6 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
的秩。
解析：
观察发现，第二行是第一行的2倍，第三行是第一行的3倍，说明三行之间存在线性相关关系。因此，矩阵的秩为1。
三、特征值与特征向量
特征值与特征向量是矩阵理论中的核心内容之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。通过求解特征方程，可以找到矩阵的特征值，并进一步求出对应的特征向量。
例题： 求矩阵
$$
B = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}
$$
的特征值与特征向量。
解析：
特征方程为：
$$
\det(B - \lambda I) = \begin{vmatrix}
2-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda \\
\end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0
$$
解得 $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 1$。
对于 $\lambda_1 = 3$，解方程 $(B - 3I)\mathbf{x} = 0$ 得到特征向量为 $k(1,1)^T$；
对于 $\lambda_2 = 1$，解方程 $(B - I)\mathbf{x} = 0$ 得到特征向量为 $k(1,-1)^T$。
四、总结
通过对《高等代数第五版》中典型课后题的分析与解答，可以看出，掌握基本概念、理解解题方法、熟练运用各种技巧是学好这门课程的关键。建议同学们在做题过程中注意以下几点：
- 理解定义：明确每个术语的含义及其几何或代数意义；
- 归纳方法：总结常见题型的解题思路；
- 多练习：通过大量练习加深对知识点的理解；
- 查漏补缺：遇到困难时及时查阅资料或请教老师。
希望本文能够为正在学习《高等代数》的同学提供一些参考与帮助，助力大家顺利掌握这门重要的数学课程。
