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高等代数第五版课后题答案及详解

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高等代数第五版课后题答案及详解,这个怎么操作啊?求手把手教!

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2025-07-07 22:12:27

高等代数第五版课后题答案及详解】《高等代数》作为数学专业的一门基础课程,内容涵盖多项式、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、特征值与特征向量等多个重要知识点。第五版教材在原有基础上进行了内容优化和结构调整,更加注重逻辑的严谨性和应用的广泛性。对于学习这门课程的学生来说,掌握好教材中的课后习题是巩固知识、提升解题能力的重要途径。

为了帮助广大学生更好地理解和掌握《高等代数第五版》中的核心概念与解题技巧,本文将围绕部分典型课后题目进行详细解析,旨在提供清晰的思路和规范的解题步骤,帮助学生在复习和备考过程中提高效率。

一、行列式的计算

行列式是高等代数中一个非常重要的概念,常用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等。在教材中,有关行列式的题目主要涉及基本性质的应用以及展开定理的使用。

例题: 计算如下三阶行列式:

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{vmatrix}

$$

解析:

该行列式可以通过展开法或利用行变换简化计算。观察发现,第三行减去第二行,再减去第一行,可以得到一个零行,因此行列式为0。

$$

\text{原式} = \begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7-4-1 & 8-5-2 & 9-6-3 \\

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

2 & 1 & 0 \\

\end{vmatrix}

$$

进一步展开或继续化简可得结果为0。

二、矩阵的秩与线性方程组

矩阵的秩是反映矩阵列(或行)向量线性相关程度的一个重要指标。在处理线性方程组时,矩阵的秩可以帮助我们判断方程组是否有解、解的个数等问题。

例题: 求矩阵

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 4 & 6 \\

3 & 6 & 9 \\

\end{bmatrix}

$$

的秩。

解析:

观察发现,第二行是第一行的2倍,第三行是第一行的3倍,说明三行之间存在线性相关关系。因此,矩阵的秩为1。

三、特征值与特征向量

特征值与特征向量是矩阵理论中的核心内容之一,广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。通过求解特征方程,可以找到矩阵的特征值,并进一步求出对应的特征向量。

例题: 求矩阵

$$

B = \begin{bmatrix}

2 & 1 \\

1 & 2 \\

\end{bmatrix}

$$

的特征值与特征向量。

解析:

特征方程为:

$$

\det(B - \lambda I) = \begin{vmatrix}

2-\lambda & 1 \\

1 & 2-\lambda \\

\end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0

$$

解得 $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 1$。

对于 $\lambda_1 = 3$,解方程 $(B - 3I)\mathbf{x} = 0$ 得到特征向量为 $k(1,1)^T$;

对于 $\lambda_2 = 1$,解方程 $(B - I)\mathbf{x} = 0$ 得到特征向量为 $k(1,-1)^T$。

四、总结

通过对《高等代数第五版》中典型课后题的分析与解答,可以看出,掌握基本概念、理解解题方法、熟练运用各种技巧是学好这门课程的关键。建议同学们在做题过程中注意以下几点:

- 理解定义:明确每个术语的含义及其几何或代数意义;

- 归纳方法:总结常见题型的解题思路;

- 多练习:通过大量练习加深对知识点的理解;

- 查漏补缺:遇到困难时及时查阅资料或请教老师。

希望本文能够为正在学习《高等代数》的同学提供一些参考与帮助,助力大家顺利掌握这门重要的数学课程。

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