在数学的广袤天地中，导数作为微积分的核心概念之一，其重要性不言而喻。导数不仅帮助我们理解函数的变化规律，还广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握导数的基本公式，是学习微积分的第一步。以下是一份精心整理的导数公式大全，希望能为你的学习提供便利。
基本初等函数的导数公式
1. 常数函数
若 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 为常数，则 \( f'(x) = 0 \)。
2. 幂函数
若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = nx^{n-1} \)。
3. 指数函数
若 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)；
若 \( f(x) = a^x \)，则 \( f'(x) = a^x \ln(a) \)。
4. 对数函数
若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)；
若 \( f(x) = \log_a(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \)。
5. 三角函数
若 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( f'(x) = \cos(x) \)；
若 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( f'(x) = -\sin(x) \)；
若 \( f(x) = \tan(x) \)，则 \( f'(x) = \sec^2(x) \)。
6. 反三角函数
若 \( f(x) = \arcsin(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)；
若 \( f(x) = \arccos(x) \)，则 \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)；
若 \( f(x) = \arctan(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)。
复合函数与运算规则
7. 乘积法则
若 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 可导，则
\[ (u \cdot v)' = u'v + uv' \]
8. 商法则
若 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 可导且 \( v(x) \neq 0 \)，则
\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
9. 链式法则
若 \( y = f(u) \)，\( u = g(x) \)，则
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]
高阶导数
10. 二阶导数
若 \( f(x) \) 的一阶导数存在，则其二阶导数为 \( f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x)) \)。
11. 莱布尼茨公式
对于两个可导函数 \( u(x) \) 和 \( v(x) \)，其 \( n \)-阶导数满足：
\[ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)} \]
特殊函数的导数
12. 双曲函数
若 \( f(x) = \sinh(x) \)，则 \( f'(x) = \cosh(x) \)；
若 \( f(x) = \cosh(x) \)，则 \( f'(x) = \sinh(x) \)。
13. 反双曲函数
若 \( f(x) = \text{arsinh}(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \)；
若 \( f(x) = \text{arcosh}(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \)。
以上便是导数公式的全面总结。掌握这些公式，不仅能帮助你解决复杂的数学问题，还能为后续的学习打下坚实的基础。希望这份导数公式大全能成为你学习路上的好伙伴！
