教学目标：

1. 理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念及其在求解方程中的应用。

2. 学会通过判别式判断一元二次方程根的情况（有无实根、根是否相等）。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

教学重点：

- 一元二次方程根的判别式公式及其意义。

- 根据判别式判断方程根的情况。

教学难点：

- 如何灵活运用判别式解决实际问题。

教学过程：

一、引入新课

我们先来回顾一下一元二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。我们知道，这样的方程可能有一个实数解，也可能有两个不同的实数解，甚至可能没有实数解。那么，如何快速判断一个一元二次方程是否有实数解呢？这就是我们今天要学习的内容——一元二次方程根的判别式。

二、讲解新知

1. 定义与公式

一元二次方程ax² + bx + c = 0的根的判别式记作Δ，其公式为：Δ = b² - 4ac。

2. 判别式的意义

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；

- 当Δ < 0时，方程没有实数根，即方程的根为虚数。

3. 例题解析

下面我们通过几个例子来具体说明如何使用判别式。

例题1

解方程x² - 5x + 6 = 0，并判断根的情况。

解：这里a=1, b=-5, c=6。计算判别式：

Δ = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 > 0

因此，该方程有两个不相等的实数根。

例题2

解方程x² - 4x + 4 = 0，并判断根的情况。

解：这里a=1, b=-4, c=4。计算判别式：

Δ = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0

因此，该方程有两个相等的实数根。

例题3

解方程x² + x + 1 = 0，并判断根的情况。

解：这里a=1, b=1, c=1。计算判别式：

Δ = 1² - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 < 0

因此，该方程没有实数根。

三、课堂练习

1. 判断方程x² - 7x + 10 = 0的根的情况。

2. 求方程2x² - 3x - 2 = 0的两个根。

3. 方程x² + 2x + 2 = 0有无实数根？

四、小结

今天我们学习了一元二次方程根的判别式，它可以帮助我们快速判断方程根的情况。记住公式Δ = b² - 4ac，并根据Δ的值判断根的情况：当Δ > 0时有两个不相等的实数根；当Δ = 0时有两个相等的实数根；当Δ < 0时没有实数根。

希望同学们能够熟练掌握这一知识点，并能灵活应用于实际问题中。

以上是本节课的教学设计，希望能帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程根的判别式。