在大学数学课程中，线性代数是一门非常重要的基础学科，它不仅为后续的专业学习提供了理论支持，还在工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。为了帮助大家更好地掌握这门学科的核心知识，本文将围绕一些典型的线性代数习题展开讨论，并给出详细的解答过程。
首先，我们来看一个关于矩阵的基本问题：
例题 1
已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求其逆矩阵 \( A^{-1} \)。
解答
要计算矩阵的逆矩阵，我们需要先判断该矩阵是否可逆。矩阵可逆的条件是其行列式不等于零。对于 \( 2 \times 2 \) 矩阵 \( A \)，其行列式公式为：
\[
\text{det}(A) = ad - bc
\]
其中 \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)。代入具体数值后：
\[
\text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2
\]
因为 \(\text{det}(A) \neq 0\)，所以矩阵 \( A \) 可逆。
接下来，利用公式 \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \) 来求解逆矩阵。其中，\(\text{adj}(A)\) 是 \( A \) 的伴随矩阵，定义为：
\[
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
\]
因此，\(\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)。结合 \(\text{det}(A) = -2\)，得到：
\[
A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}
\]
通过上述步骤，我们成功找到了矩阵 \( A \) 的逆矩阵。
接下来是一个涉及向量空间的问题：
例题 2
设向量 \( v_1 = (1, 2, 3) \) 和 \( v_2 = (4, 5, 6) \)，判断它们是否线性相关。
解答
两个向量线性相关的条件是存在实数 \( k \)，使得 \( v_1 = kv_2 \) 或 \( v_2 = kv_1 \)。换句话说，这两个向量必须成比例。
观察 \( v_1 \) 和 \( v_2 \)，我们可以尝试寻找比例关系。假设 \( v_1 = kv_2 \)，则有：
\[
(1, 2, 3) = k(4, 5, 6)
\]
分解为三个分量方程：
\[
1 = 4k, \quad 2 = 5k, \quad 3 = 6k
\]
从第一个方程得 \( k = \frac{1}{4} \)，代入第二个方程验证 \( 2 = 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \)，显然不成立。因此，\( v_1 \) 和 \( v_2 \) 不成比例，它们是线性无关的。
最后，我们探讨一个特征值与特征向量的问题：
例题 3
给定矩阵 \( B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \)，求其特征值和对应的特征向量。
解答
特征值的定义是满足方程 \( |B - \lambda I| = 0 \) 的 \(\lambda\) 值，其中 \( I \) 是单位矩阵。计算 \( B - \lambda I \)：
\[
B - \lambda I = \begin{bmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 1 & 3-\lambda \end{bmatrix}
\]
其行列式为：
\[
|B - \lambda I| = (2-\lambda)(3-\lambda) - (-1)(1) = \lambda^2 - 5\lambda + 7
\]
令其等于零，得到特征多项式：
\[
\lambda^2 - 5\lambda + 7 = 0
\]
使用求根公式 \( \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，其中 \( a=1, b=-5, c=7 \)，计算得：
\[
\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-3}}{2}
\]
因此，特征值为 \( \lambda_1 = \frac{5 + i\sqrt{3}}{2}, \lambda_2 = \frac{5 - i\sqrt{3}}{2} \)。
对于每个特征值，可以通过解方程组 \( (B - \lambda I)x = 0 \) 求出对应的特征向量。这里略去详细计算过程，但可以得出结论：特征向量分别为复数形式。
以上就是几个典型线性代数习题及其解答。希望这些例子能够帮助你加深对线性代数的理解！
