【流体力学三大方程公式】在流体力学中，有三个基本的方程被广泛用于描述流体的运动和状态变化。它们分别是连续性方程、动量方程（纳维-斯托克斯方程）和能量方程。这三者构成了流体力学分析的基础，适用于不可压缩和可压缩流体的不同情况。
一、连续性方程（质量守恒）
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的体现。它说明了在稳态流动中，流入控制体积的质量等于流出的质量。
公式：
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0
$$
其中：
- $\rho$ 是流体密度；
- $\vec{v}$ 是速度矢量；
- $t$ 是时间。
对于不可压缩流体（$\rho = \text{常数}$），该方程简化为：
$$
\nabla \cdot \vec{v} = 0
$$
二、动量方程（纳维-斯托克斯方程）
动量方程是牛顿第二定律在流体中的应用，用于描述流体受力与加速度之间的关系。
公式：
$$
\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}
$$
其中：
- $\rho$ 是密度；
- $\vec{v}$ 是速度矢量；
- $p$ 是压力；
- $\mu$ 是动力粘度；
- $\vec{f}$ 是体积力（如重力）。
该方程适用于牛顿流体，对非牛顿流体需进行修正。
三、能量方程（能量守恒）
能量方程描述了流体系统中能量的变化，包括热能、动能和内能等。
公式：
$$
\rho \frac{D}{Dt}(e + \frac{1}{2} \vec{v} \cdot \vec{v}) = -\nabla \cdot (p \vec{v}) + \nabla \cdot (\vec{q} + \tau \cdot \vec{v})
$$
其中：
- $e$ 是单位质量的内能；
- $\vec{q}$ 是热传导矢量；
- $\tau$ 是应力张量。
对于理想气体，能量方程通常结合状态方程使用，如 $p = \rho R T$。
总结表格
| 方程名称 | 基本形式 | 应用条件 | 物理意义 |
| 连续性方程 | $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0$ | 任意流体（稳态或非稳态） | 质量守恒 |
| 动量方程 | $\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}$ | 牛顿流体 | 动量守恒，描述流体受力与加速度关系 |
| 能量方程 | $\rho \frac{D}{Dt}(e + \frac{1}{2} \vec{v} \cdot \vec{v}) = -\nabla \cdot (p \vec{v}) + \nabla \cdot (\vec{q} + \tau \cdot \vec{v})$ | 任意流体 | 能量守恒，涉及热能与动能转换 |
通过这三大方程，可以对流体的运动、压力分布、温度变化等进行深入分析，是工程流体力学和计算流体力学的重要理论基础。
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