【tan75等于多少根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度值，计算时需要用到一些特殊的三角恒等式。tan75°可以表示为tan(45° + 30°)，利用正切的加法公式进行计算。通过推导，我们可以得出tan75°的精确表达式，并以根号形式呈现。
一、tan75°的计算方法
根据正切的加法公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
令 $ a = 45^\circ $，$ b = 30^\circ $，则有：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $ \tan 45^\circ = 1 $
- $ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $
代入公式得：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
为了消除分母中的根号，我们对分子和分母同时乘以 $ \sqrt{3} + 1 $：
$$
\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、总结
经过计算，我们得出：
$$
\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}
$$
这是一个精确的表达式，用根号形式表示为 $ 2 + \sqrt{3} $。
三、表格展示
| 角度 | 正切值（数值） | 正切值（根号形式） |
| 75° | 约 3.732 | $ 2 + \sqrt{3} $ |
四、结语
tan75°的精确值是 $ 2 + \sqrt{3} $，这个结果可以通过三角恒等式推导得出。在实际应用中，若需要更精确的数值，可以使用计算器或数学软件进行验证。了解这些基本的角度值有助于提高解题效率和理解三角函数的本质。
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