【75度三角函数值】在三角函数的学习中，常见的角度如30°、45°、60°等都有明确的数值，但像75°这样的角度则需要通过特殊方法进行计算。75°可以看作是45°与30°的和，因此可以通过三角函数的加法公式来求得其正弦、余弦和正切值。以下是对75°三角函数值的总结与表格展示。
一、75度的三角函数值推导
75° = 45° + 30°，因此我们可以利用三角函数的和角公式：
- sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB
- cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB
- tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB)
代入 A = 45°, B = 30°，并已知：
- sin45° = √2/2
- cos45° = √2/2
- sin30° = 1/2
- cos30° = √3/2
- tan45° = 1
- tan30° = 1/√3
可得：
1. 正弦（sin75°）：
$$
\sin75° = \sin(45° + 30°) = \sin45°\cos30° + \cos45°\sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
2. 余弦（cos75°）：
$$
\cos75° = \cos(45° + 30°) = \cos45°\cos30° - \sin45°\sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
3. 正切（tan75°）：
$$
\tan75° = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan45° + \tan30°}{1 - \tan45°\tan30°} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
为了简化分母，可将分子分母同时乘以 $\sqrt{3} + 1$，得到：
$$
\tan75° = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、75度三角函数值表
| 角度 | 正弦（sin） | 余弦（cos） | 正切（tan） |
| 75° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | $2 + \sqrt{3}$ |
三、总结
75°是一个非标准角度，但可以通过45°和30°的组合，利用三角函数的和角公式进行计算。其三角函数值虽然复杂，但在实际应用中具有重要意义，尤其在几何、物理和工程领域中经常出现。掌握这些值有助于提高解题效率，并加深对三角函数的理解。
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