【转动惯量公式表】在物理学中，转动惯量是一个非常重要的概念，它描述了物体在旋转时所表现出的惯性大小。与质量在平动中的作用类似，转动惯量决定了物体在受到外力矩作用时的角加速度变化情况。不同的物体形状和质量分布会导致其转动惯量不同，因此，了解并掌握各种常见几何体的转动惯量公式对于解决力学问题至关重要。
以下是一份常见的转动惯量公式表，适用于不同形状的刚体绕特定轴旋转的情况。这些公式通常基于理想化的模型，并假设材料均匀分布、密度一致。
一、基本定义
转动惯量（Moment of Inertia）用符号 $ I $ 表示，单位为千克·平方米（kg·m²）。其数学表达式为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中，$ m_i $ 是物体上某一点的质量，$ r_i $ 是该点到旋转轴的距离。
对于连续物体，则使用积分形式表示：
$$
I = \int r^2 \, dm
$$
二、常见几何体的转动惯量公式
| 物体形状 | 转动轴位置 | 公式 | 说明 |
|----------|--------------|------|------|
| 均质细杆 | 绕中心垂直轴 | $ I = \frac{1}{12} m L^2 $ | L 为杆长 |
| 均质细杆 | 绕一端 | $ I = \frac{1}{3} m L^2 $ | L 为杆长 |
| 实心圆柱体 | 绕中心轴 | $ I = \frac{1}{2} m R^2 $ | R 为半径 |
| 空心圆柱体（薄壁） | 绕中心轴 | $ I = m R^2 $ | R 为半径 |
| 实心球体 | 绕通过球心的轴 | $ I = \frac{2}{5} m R^2 $ | R 为半径 |
| 空心球体（薄壳） | 绕通过球心的轴 | $ I = \frac{2}{3} m R^2 $ | R 为半径 |
| 圆盘 | 绕中心轴 | $ I = \frac{1}{2} m R^2 $ | R 为半径 |
| 长方体 | 绕通过中心且垂直于面的轴 | $ I = \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) $ | a、b 为边长 |
三、平行轴定理
当物体绕某一轴旋转时，若要计算其绕另一条与之平行但不重合的轴的转动惯量，可以使用平行轴定理：
$$
I = I_{\text{cm}} + m d^2
$$
其中：
- $ I_{\text{cm}} $ 是物体绕质心轴的转动惯量；
- $ m $ 是物体总质量；
- $ d $ 是两轴之间的距离。
四、应用实例
例如，一个质量为 $ m $、长度为 $ L $ 的均质细杆，绕其一端旋转时的转动惯量为：
$$
I = \frac{1}{3} m L^2
$$
而如果将其绕其中心旋转，则转动惯量为：
$$
I = \frac{1}{12} m L^2
$$
这说明，相同质量的物体，当旋转轴靠近质心时，其转动惯量更小，更容易旋转。
五、总结
转动惯量是研究刚体旋转运动的重要物理量，其数值取决于物体的质量分布以及旋转轴的位置。掌握不同形状物体的转动惯量公式，有助于分析和解决实际工程与物理问题。同时，结合平行轴定理，可以灵活地处理复杂旋转系统的转动惯量计算。
如需进一步了解转动惯量在具体问题中的应用或相关计算方法，欢迎继续提问！
