【相似三角形经典例题】在初中数学中，相似三角形是一个重要的知识点，不仅在考试中频繁出现，而且在实际问题中也有广泛的应用。掌握相似三角形的判定方法和性质，对于解决几何问题具有重要意义。本文将通过几个经典的例题，帮助大家深入理解相似三角形的相关知识。
一、相似三角形的基本概念
两个三角形如果它们的三个角分别相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。记作：△ABC ∽ △DEF。
相似三角形的性质包括：
- 对应角相等；
- 对应边成比例；
- 对应高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比；
- 面积比等于相似比的平方。
二、经典例题解析
例题1：利用AA判定法判断相似
已知：在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 70°；在△DEF中，∠D = 60°，∠E = 70°。试判断△ABC与△DEF是否相似。
解题思路：
根据“两角分别相等”的判定方法（AA），若两个三角形有两个角分别相等，则这两个三角形相似。
由于∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 70°，因此可得△ABC ∽ △DEF。
例题2：利用SAS判定法判断相似
已知：在△ABC和△DEF中，AB = 4，AC = 6，DE = 2，DF = 3，且∠A = ∠D。试判断△ABC与△DEF是否相似。
解题思路：
根据“两边成比例且夹角相等”的判定方法（SAS）：
$$
\frac{AB}{DE} = \frac{4}{2} = 2,\quad \frac{AC}{DF} = \frac{6}{3} = 2
$$
因为AB/DE = AC/DF，且夹角∠A = ∠D，所以△ABC ∽ △DEF。
例题3：利用相似三角形求长度
如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，且DE∥BC。已知AD = 2，DB = 3，AE = 4，求EC的长度。
解题思路：
根据“平行线分线段成比例”定理，若DE∥BC，则有：
$$
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
$$
代入数据：
$$
\frac{2}{3} = \frac{4}{EC}
$$
解得：
$$
EC = \frac{4 \times 3}{2} = 6
$$
例题4：利用相似三角形求面积
已知△ABC与△DEF相似，且它们的相似比为2:3，若△ABC的面积为8 cm²，求△DEF的面积。
解题思路：
相似三角形的面积比等于相似比的平方，即：
$$
\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}
$$
设△DEF的面积为S，则：
$$
\frac{8}{S} = \frac{4}{9} \Rightarrow S = \frac{8 \times 9}{4} = 18
$$
所以，△DEF的面积为18 cm²。
三、总结
相似三角形是几何学习中的重点内容，掌握其判定方法和性质，有助于快速解决相关问题。通过上述经典例题的分析，我们可以看出，相似三角形不仅可以用来判断图形之间的关系，还能用于计算长度、角度和面积等。
在实际学习过程中，建议多做练习题，结合图形进行理解，逐步提高对相似三角形的综合运用能力。
关键词： 相似三角形、经典例题、几何、判定方法、面积比、比例关系
