【7.2.2（用坐标表示平移）】在平面几何中，平移是一种基本的图形变换方式。它指的是将一个图形上的所有点按照相同的方向和距离移动，而不改变图形的大小、形状和方向。这种变换在数学、物理以及计算机图形学中都有广泛的应用。

在学习平移的过程中，我们通常会借助坐标系来描述图形的位置变化。通过坐标的变化，我们可以更直观地理解平移的过程，并准确地计算出图形在平移后的新位置。

一、坐标系与点的表示

在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（x, y）来表示。其中，x 表示该点在水平方向上的位置，y 表示垂直方向上的位置。例如，点 A(3, 5) 表示它位于横坐标为 3、纵坐标为 5 的位置。

二、平移的基本概念

平移可以看作是将一个点或图形整体沿着某个方向移动一定的距离。这个方向可以用向量来表示，而移动的距离则由向量的长度决定。

例如，若一个点 P(x, y) 沿着向量 (a, b) 进行平移，则平移后的点 P' 的坐标为：

$$

P'(x + a, y + b)

$$

这里的向量 (a, b) 可以是正数、负数或零，分别表示不同的移动方向和距离。

三、利用坐标进行平移操作

假设有一个三角形 ABC，其三个顶点的坐标分别为 A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)。现在我们想将这个三角形沿 x 轴正方向移动 2 个单位，沿 y 轴正方向移动 3 个单位。

根据平移的公式，每个顶点的新坐标应为：

- A'(1 + 2, 2 + 3) = (3, 5)

- B'(3 + 2, 4 + 3) = (5, 7)

- C'(5 + 2, 1 + 3) = (7, 4)

这样，我们就得到了平移后的三角形 A'B'C'。

四、平移的性质

1. 保持图形的大小和形状不变：平移不会改变图形的任何尺寸或角度。

2. 保持方向一致：图形中的每一点都朝同一个方向移动相同的距离。

3. 对应点之间的连线平行且相等：平移后，原图形与新图形的对应点之间形成的线段互相平行且长度相等。

五、实际应用举例

在日常生活中，平移的概念随处可见。例如，在地图上移动一个物体的位置、在计算机游戏中控制角色的移动、在建筑设计中调整结构的位置等，都可以通过坐标平移的方法来实现。

此外，在编程中，尤其是图形界面设计中，平移常用于实现动画效果或对象的移动。程序员可以通过修改坐标的值来实现图像的平移，从而达到动态展示的效果。

六、总结

通过坐标表示平移，我们能够更加清晰地理解和操作图形的移动。掌握这一方法不仅有助于提升几何思维能力，也为后续学习旋转、对称等其他变换打下坚实的基础。在今后的学习和实践中，灵活运用坐标平移的知识，将为我们解决实际问题提供更多便利。