在数学领域中，我们经常需要分析和解决与函数相关的不等式问题。例如，假设我们有一个分段定义的函数 \( f(x) \)，其表达式如下：

\[

f(x) =

\begin{cases}

2^x, & \text{当 } x < 0; \\

x^2, & \text{当 } x \geq 0.

\end{cases}

\]

现在，我们需要求解不等式 \( f(x) \leq 1 \) 的解集。

首先，考虑 \( x < 0 \) 的情况。此时，\( f(x) = 2^x \)。我们知道指数函数 \( 2^x \) 在 \( x < 0 \) 时是一个递减函数，并且其值始终介于 0 和 1 之间。因此，要满足 \( 2^x \leq 1 \)，只需要 \( x \leq 0 \)。结合条件 \( x < 0 \)，我们可以得出解集为 \( x < 0 \)。

接下来，考虑 \( x \geq 0 \) 的情况。此时，\( f(x) = x^2 \)。对于 \( x^2 \leq 1 \)，我们可以通过解方程 \( x^2 = 1 \) 得到 \( x = 1 \) 或 \( x = -1 \)。但由于 \( x \geq 0 \)，所以只保留 \( x = 1 \)。因此，在 \( x \geq 0 \) 的情况下，解集为 \( 0 \leq x \leq 1 \)。

综合以上两种情况，不等式 \( f(x) \leq 1 \) 的解集为 \( x \in (-\infty, 0) \cup [0, 1] = (-\infty, 1] \)。

通过这样的分段讨论，我们成功解决了这个分段函数的不等式问题。这种方法不仅适用于此例，也为处理其他复杂的分段函数提供了思路。

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