在学习线性代数的过程中，特征值与特征向量是一个非常重要的概念。它们不仅在理论研究中占有核心地位，而且在实际应用中也发挥着关键作用，如在物理、工程、计算机科学等领域。今天，我们将通过一些精选的习题来深入理解这一主题。
首先，让我们回顾一下基本定义：
设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的矩阵，若存在非零向量 \( v \) 和标量 \( \lambda \)，使得 \( Av = \lambda v \)，则称 \( \lambda \) 为矩阵 \( A \) 的特征值，而 \( v \) 称为对应的特征向量。
接下来，我们来看几个习题：
习题1：
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \)，求其特征值和对应的特征向量。
解答：
要找到特征值，我们需要解特征方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)。计算得到：
\[
\det(A - \lambda I) = \det\left( \begin{bmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 4 & 3-\lambda \end{bmatrix} \right) = (2-\lambda)(3-\lambda) - (-1)(4) = \lambda^2 - 5\lambda + 10.
\]
解这个二次方程 \( \lambda^2 - 5\lambda + 10 = 0 \)，我们得到特征值 \( \lambda_1 = 2 \) 和 \( \lambda_2 = 3 \)。
对于每个特征值，我们可以找到相应的特征向量。例如，当 \( \lambda = 2 \) 时，解方程 \( (A - 2I)v = 0 \)，即：
\[
\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.
\]
这给出 \( -y = 0 \) 和 \( 4x + y = 0 \)，从而 \( y = 0 \) 且 \( x \) 可以是任意非零值。因此，对应的特征向量可以取为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)。
类似地，当 \( \lambda = 3 \) 时，解方程 \( (A - 3I)v = 0 \)，即：
\[
\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.
\]
这给出 \( -x - y = 0 \) 和 \( 4x = 0 \)，从而 \( x = 0 \) 且 \( y \) 可以是任意非零值。因此，对应的特征向量可以取为 \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
习题2：
证明如果 \( A \) 是对称矩阵，则 \( A \) 的不同特征值对应的特征向量相互正交。
解答：
假设 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 是 \( A \) 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 \( v_1 \) 和 \( v_2 \)。我们需要证明 \( v_1 \cdot v_2 = 0 \)。
由于 \( Av_1 = \lambda_1 v_1 \) 和 \( Av_2 = \lambda_2 v_2 \)，我们有：
\[
v_2^T A v_1 = v_2^T (\lambda_1 v_1) = \lambda_1 (v_2^T v_1),
\]
以及
\[
v_2^T A v_1 = (\lambda_2 v_2)^T v_1 = \lambda_2 (v_2^T v_1).
\]
因为 \( A \) 是对称矩阵，所以 \( A = A^T \)，因此 \( v_2^T A v_1 = v_1^T A v_2 \)。结合以上两式，我们得到：
\[
\lambda_1 (v_2^T v_1) = \lambda_2 (v_2^T v_1).
\]
由于 \( \lambda_1 \neq \lambda_2 \)，必有 \( v_2^T v_1 = 0 \)，即 \( v_1 \cdot v_2 = 0 \)。这证明了 \( v_1 \) 和 \( v_2 \) 正交。
通过这些习题，我们可以更好地理解和掌握特征值与特征向量的概念及其性质。希望这些练习能帮助你更深入地理解线性代数的核心内容。
