在高中数学的学习过程中，《必修4》是学生接触的重要模块之一，涵盖了三角函数、平面向量以及三角恒等变换等内容。这些知识不仅是高考的重点，也是后续学习高等数学的基础。本文将围绕《高中数学必修4》的核心知识点进行梳理和解析。
一、三角函数的基本概念
三角函数是本章的核心内容，主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。以下是几个关键点：
1. 定义域与值域
- 正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。
- 正切函数的定义域为{x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}，值域为全体实数。
2. 周期性
- 正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π；正切函数的最小正周期为π。
3. 奇偶性
- 正弦函数为奇函数，即f(-x) = -f(x)。
- 余弦函数为偶函数，即f(-x) = f(x)。
4. 诱导公式
通过诱导公式可以简化三角函数的计算，例如：
\[
\sin(\frac{π}{2} - x) = \cos(x), \quad \cos(\frac{π}{2} - x) = \sin(x)
\]
二、平面向量的性质与运算
平面向量是描述几何问题的重要工具，其基本性质和运算法则如下：
1. 向量的加法与减法
- 向量加法满足平行四边形法则，减法可视为加法的逆运算。
- 设\(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\)，则\(\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2)\)。
2. 数量积与夹角
- 数量积的公式为\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cosθ\)，其中θ为两向量的夹角。
- 若\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)垂直。
3. 向量的模长
- 向量\(\vec{a} = (x, y)\)的模长为\(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)。
三、三角恒等变换
三角恒等变换是解决复杂三角函数问题的重要手段，以下是一些常用的公式：
1. 两角和与差公式
\[
\sin(α ± β) = \sin α \cos β ± \cos α \sin β
\]
\[
\cos(α ± β) = \cos α \cos β ∓ \sin α \sin β
\]
2. 倍角公式
\[
\sin 2α = 2 \sin α \cos α, \quad \cos 2α = \cos^2 α - \sin^2 α
\]
3. 半角公式
\[
\sin \frac{α}{2} = ±\sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}, \quad \cos \frac{α}{2} = ±\sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}}
\]
四、综合应用案例
结合上述知识点，我们可以尝试解决一些实际问题。例如：
例题：已知\(\vec{a} = (3, 4)\)，\(\vec{b} = (-1, 2)\)，求\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)及\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角。
解答：
- 数量积\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 × (-1) + 4 × 2 = 5\)。
- 模长\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)，\(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)。
- 夹角\(\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)。
以上便是《高中数学必修4》的主要知识点总结。希望同学们能够熟练掌握这些内容，并灵活运用到解题中去！
