第一讲__数列的极限典型例题

在数学分析中，数列的极限是一个重要的概念，它帮助我们理解数列行为的趋势和性质。本讲将通过几个典型的例题来探讨如何计算和分析数列的极限。

例题1：简单等比数列的极限

考虑数列 $a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$。我们需要求出该数列的极限。

解法如下：

- 首先观察到这是一个等比数列，公比为 $\frac{1}{2}$。

- 根据等比数列的性质，当公比的绝对值小于1时，数列的极限为0。

- 因此，$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。

例题2：递归定义数列的极限

设数列 $\{b_n\}$ 定义为 $b_1 = 1$，且对于 $n \geq 2$，有 $b_n = \frac{1}{2} b_{n-1} + 1$。求该数列的极限。

解法如下：

- 假设该数列的极限存在，记为 $L$。

- 将极限代入递推关系式，得到 $L = \frac{1}{2}L + 1$。

- 解方程 $L = \frac{1}{2}L + 1$，得 $L = 2$。

- 经验证，该数列确实收敛于2。

例题3：分式数列的极限

考虑数列 $c_n = \frac{n^2 + 3n + 2}{2n^2 + n - 1}$。求该数列的极限。

解法如下：

- 分子和分母同时除以 $n^2$，得到 $c_n = \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}$。

- 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{3}{n} \to 0$，$\frac{2}{n^2} \to 0$，$\frac{1}{n} \to 0$，$\frac{1}{n^2} \to 0$。

- 因此，$\lim_{n \to \infty} c_n = \frac{1}{2}$。

通过以上三个例题，我们可以看到数列极限的计算方法多种多样，但核心思想是通过观察数列的行为趋势来确定其极限值。希望这些例题能帮助大家更好地理解和掌握数列极限的相关知识。