在数学学习中，一元一次不等式和一元一次不等式组是重要的基础知识点之一。它们不仅在理论上有深刻的内涵，在实际问题中也有广泛的应用。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，下面将通过一组测试题来巩固相关知识，并附上详细的解答过程。
测试题部分
题目1
解不等式：\( 3x - 5 < 7 \)。
题目2
求解不等式组：
\[
\begin{cases}
2x + 1 > 5 \\
4x - 3 \leq 9
\end{cases}
\]
题目3
若 \( x \) 满足 \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \)，试确定 \( x \) 的取值范围。
题目4
已知函数 \( f(x) = 2x - 6 \)，当 \( f(x) \geq 0 \) 时，求 \( x \) 的取值范围。
题目5
某工厂每天生产的产品数量 \( x \) 必须满足以下条件：
\[
\begin{cases}
x + 2y \geq 100 \\
x - y \leq 30
\end{cases}
\]
其中 \( y \) 表示另一产品的数量。请分析 \( x \) 和 \( y \) 的可能取值范围。
答案解析部分
题目1 解答
原不等式为 \( 3x - 5 < 7 \)。移项得：
\[
3x < 12
\]
两边同时除以 3（注意：系数为正数，不改变方向）：
\[
x < 4
\]
因此，解集为 \( (-\infty, 4) \)。
题目2 解答
首先分别解两个不等式：
- 对于 \( 2x + 1 > 5 \)，移项后得到：
\[
2x > 4 \quad \Rightarrow \quad x > 2
\]
- 对于 \( 4x - 3 \leq 9 \)，移项后得到：
\[
4x \leq 12 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3
\]
结合两部分，最终解集为 \( (2, 3] \)。
题目3 解答
不等式 \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \) 可以因式分解为：
\[
(x - 1)(x - 3) \leq 0
\]
利用数轴法分析符号变化，可得解集为：
\[
[1, 3]
\]
题目4 解答
由 \( f(x) = 2x - 6 \geq 0 \)，移项得：
\[
2x \geq 6 \quad \Rightarrow \quad x \geq 3
\]
因此，解集为 \( [3, +\infty) \)。
题目5 解答
这是一个线性规划问题，需要结合约束条件绘制可行域。根据题目给出的约束条件：
\[
\begin{cases}
x + 2y \geq 100 \\
x - y \leq 30
\end{cases}
\]
通过作图或代数方法，可以找到 \( x \) 和 \( y \) 的交点，从而确定其取值范围。
以上便是本次测试题及其详细解答。希望大家通过练习能够熟练掌握一元一次不等式和不等式组的相关技巧，为后续更复杂的数学问题打下坚实的基础！
