在数学的学习过程中，一元二次不等式的解法是一个重要的知识点。它不仅在代数中占有举足轻重的地位，同时也是解决实际问题的重要工具。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，本文将通过一系列精选的练习题，带您逐步深入理解并熟练运用一元二次不等式的相关知识。

基础篇

练习题1：

求解以下一元二次不等式：

\[x^2 - 5x + 6 > 0\]

解析：

首先，我们需要找到对应的方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的根。通过因式分解或使用求根公式，可以得到该方程的两个实根为 \(x=2\) 和 \(x=3\)。因此，原不等式的解集为所有使得函数值大于零的 \(x\) 值，即 \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\)。

练习题2：

求解以下一元二次不等式：

\[x^2 + 4x + 4 \leq 0\]

解析：

观察到此不等式可以写成完全平方形式 \((x+2)^2 \leq 0\)。由于一个数的平方总是非负数，所以只有当 \(x+2=0\) 即 \(x=-2\) 时，等号成立。因此，该不等式的解集为单点集合 \(\{-2\}\)。

提高篇

练习题3：

求解以下一元二次不等式：

\[2x^2 - 7x - 4 < 0\]

解析：

同样地，先确定对应方程 \(2x^2 - 7x - 4 = 0\) 的根。利用求根公式可得两根约为 \(x_1 \approx -0.5\) 和 \(x_2 \approx 4\)。根据开口向上的抛物线性质，可知原不等式的解集为 \(x \in (-0.5, 4)\)。

练习题4：

若对于任意实数 \(x\)，不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) 恒成立，则系数 \(a\)、\(b\)、\(c\) 应满足什么条件？

解析：

要使二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 对所有 \(x\) 都大于零，必须保证抛物线开口向上（即 \(a>0\)），并且没有实数根（即判别式 \(\Delta=b^2-4ac<0\)）。因此，系数需满足 \(a>0\) 且 \(\Delta<0\)。

综合应用篇

练习题5：

某工厂生产某种产品，其成本函数为 \(C(x) = x^2 - 10x + 25\) （单位：万元），售价函数为 \(P(x) = 20 - x\) （单位：万元/件）。问当产量 \(x\) 为何值时，工厂能够盈利？

解析：

工厂盈利意味着收入减去成本大于零，即 \(R(x)-C(x)>0\)，其中 \(R(x)=x \cdot P(x)\)。代入已知条件后得到不等式 \(-x^2+30x-25>0\)。解此不等式可得盈利区间为 \(x \in (1, 25)\)。

以上就是本次关于一元二次不等式的课堂同步练习题。希望这些题目能帮助大家巩固所学知识，并提高解决问题的能力。如果还有疑问，请随时查阅教材或咨询老师！