在概率论和随机过程的研究中，泊松过程是一种重要的计数过程，广泛应用于通信理论、排队论、生物学以及金融等领域。泊松过程的核心在于其时间间隔和事件发生的独立性与均匀性。为了更好地理解和分析泊松过程的行为，引入了积分表示这一数学工具。

首先，我们定义一个标准的泊松过程 \( N(t) \)，它表示在时间区间 \([0, t]\) 内发生的事件总数。假设事件的发生速率（即强度）为 \(\lambda\)，那么 \( N(t) \) 是一个具有以下性质的过程：

1. \( N(0) = 0 \)，即初始时刻没有事件发生。

2. \( N(t) \) 具有独立增量，这意味着对于任意不重叠的时间区间，事件数是相互独立的。

3. 在任何足够小的时间段内，最多只可能有一个事件发生。

4. 对于任意小的时间段 \(\Delta t\)，事件发生的概率近似为 \(\lambda \Delta t\)。

基于这些特性，泊松过程可以用积分形式来表示。具体而言，如果我们将时间轴离散化，并且每个时间段内的事件数视为一个随机变量，则可以将整个过程表示为一系列积分的叠加。这种表示方法不仅有助于直观理解泊松过程的本质，还为后续的理论推导提供了便利。

进一步地，通过引入随机测度的概念，我们可以更精确地描述泊松过程的积分表示。随机测度允许我们在连续的时间范围内灵活地处理事件的发生情况，从而实现对泊松过程的深入刻画。这种方法尤其适用于那些需要考虑复杂依赖结构或非平稳强度函数的情况。

总之，泊松过程的积分表示提供了一种强大的工具，使我们能够从全新的角度审视这一经典的随机过程。通过对积分形式的理解与应用，研究者们能够在更广泛的背景下探索泊松过程及其相关模型的实际意义。