概率论作为数学的一个重要分支，广泛应用于统计学、金融学、工程学等多个领域。它不仅能够帮助我们理解随机现象背后的规律，还能指导我们在不确定环境中做出更明智的决策。为了更好地掌握这一学科的基本知识和技能，下面我们将通过一些典型的概率论考试题目及其详细解答来加深对相关概念的理解。

例题一：假设一个袋子里装有5个红球和3个蓝球，随机抽取两个球，请计算至少抽到一个红球的概率是多少？

解法：首先明确事件A表示“至少抽到一个红球”，那么其对立事件为“没有抽到任何红球”，即全部抽到蓝球。根据组合数公式C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]，可以得出：

P(至少一个红球) = 1 - P(全是蓝球)

= 1 - C(3,2)/C(8,2)

= 1 - (3/28)

= 25/28

因此，至少抽到一个红球的概率为25/28。

例题二：已知某地区居民患某种疾病的概率为0.05，医院检测该疾病时存在一定的误差率。如果一个人确实患病，那么检测结果正确的概率是0.9；而如果这个人并未患病，则检测出阳性结果的概率为0.02。现在有一名居民被检测出患有此病，请问这名居民真正患病的概率是多少？

解法：设B表示“检测结果为阳性”，D表示“患病”。我们需要求的是P(D|B)，根据贝叶斯定理可得：

P(D|B) = P(B|D) P(D) / P(B)

其中：

P(B|D) = 0.9（患病时检测准确的概率）

P(D) = 0.05（患病的先验概率）

P(B) = P(B|D)P(D) + P(B|¬D)P(¬D)

= 0.90.05 + 0.02(1-0.05)

≈ 0.068

代入公式后得到：

P(D|B) ≈ 0.9 0.05 / 0.068

≈ 0.66176

所以，该居民实际患病的概率约为66.18%。

以上两道例题涵盖了概率论中常见的两类问题——古典概型与条件概率的应用。通过这些具体的实例分析，我们可以看到概率论在解决现实生活中的各种不确定性问题时所发挥的重要作用。希望读者朋友们能够在日常学习过程中多加练习，不断提高自己的逻辑推理能力和解决问题的能力！